On the Geometry , Topology and Approximation of Amoebas

i Amoebas are fords between the shores of discrete and continuous mathematics; a synthesis of discrete, tropical and algebraic geometry, of complex analysis and algebraic topology. Its tentacles reach into combinatorics and even applied topics. −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 They inhabit huge parts of the mathematical ocean — hidden below the surface, where they are not discovered at a first glance. ii Deutsche Zusammenfassung Amöben sind eine mathematische Entität im Grenzgebiet zwischen algebraischer und tropischer Geometrie, die diese beiden Gebiete der Mathematik in natürlicher Weise verbindet. Der Terminus " algebraische Geometrie " wird gegenwärtig in derart vielfältiger Weise verwendet, dass eine für jeden akzeptable Definition nicht leicht zu finden ist. Hier – und dies ist sicherlich zumindest eine häufig vertretene Auffassung – verstehen wir die alge-braische Geometrie als das Gebiet der Mathematik, das sich der Untersuchung algebrais-cher Varietäten, d.h. der Nullstellenmengen polynomieller Gleichungssysteme, widmet. Für unsere Zwecke betrachten wir Laurent-Polynome in n Variablen mit komplexen Koeffizienten, deren Varietäten wir auf den algebraischen Torus, d.h. nicht-null Einträge, beschränken. Demzufolge haben wir einerseits ein algebraisches Objekt in Form eines Polynoms bzw. eines polynomiellen Gleichungssystems und andererseits ein geometrisches Objekt, nämlich eine Varietät in Form einer (glatten) komplexen (n − 1) Mannigfaltigkeit im algebraischen Torus (C *) n = C n \{0}. Ziel ist es, die Beziehung zwischen diesen beiden Objekten zu studieren und zu verstehen. Bekanntermaßen ist dies ein sehr schwieriges Problem. Deshalb ist es naheliegend, Vereinfachungen dieses Problems zu betrachten – beispielsweise Projektionen der ur-sprünglichen Varietät. Die komplexen Zahlen besitzen zwei natürliche Zerlegungen, nämlich einerseits in Real-und Imaginärteil und andererseits in Absolutbetrag und Winkel. Letztere motiviert die Definition von Amöben in kanonischer Weise, denn die Amöbe A(f) eines (Laurent) Poly-noms f ist gerade das Bild der zu f gehörigen Varietät unter folgender Log-Abbildung: D.h., die Amöbe ist die Menge der (komponentenweise logarithmierten) Absolutbeträge aller Elemente der Varietät V(f). In analoger Weise definiert man die Coamöbe coA(f) als das Bild der Varietät V(f) unter der Arg-Abbildung: d.h., als die Menge aller Winkel (Argumente) der Elemente in V(f). Ergo können Coa-möben als natürliche duale Objekte von Amöben verstanden werden. Schwerpunkt der tropischen Geometrie ist das Studium n-variater tropischer Laurent-Polynome trop(f), d.h. von Laurent-Polynomen, dië uber dem tropischen Semiring (R ∪ {−∞}, ⊕, ⊙) definiert sind. Hierbei bezeichnet " ⊕ " das klassische Maximum und " ⊙ " die klassische Addition. Die tropische Varietät …